Trigonometri
Læringsmål:
1. Du kan forklare en trekants geometriske egenskaber
2. Du kan forklare hvordan man finder arealet af en vilkårlig trekant
----------------------------------------------------------------------------------------------
"En trekant har mange geometriske egenskaber. Her vil jeg løbe de fleste igennem.
Selve trekanten består af:
- 3 sider som kaldes a, b og c.
siden a vil altid ligge modsat punkt A. Det samme vil de andre sider også.
- 3 kanter som kaldes A, B og C.
(I den retvinklede trekant er C altid den rette vinkel)
m kaldes <A, <B og <C.
Der findes
3 slags vinkler:
Spidsvinkel, som er alle vinkler der har under 90 grader.
Retvinkel, som er alle vinkler der har 90 grader.
Stumpvinkel, som er alle vinkler der har over 90 grader.
Vinkelsummen i en trekant vil altid være 180 grader. Trekanten kan altså ikke både have 1 ret- og stumpvinkel, da vi allerede er over de 180 grader der. På samme måde kan den heller ikke indeholde 2 rettevinkler.
I en trekant findes
der også flere forskellige linjer. bl.a.:
- M, som er midtpunktet mellem 2 kanter.
- h, som er højden fra grundlinjen og op til toppen af trekanten. Når man skal tegne denne linje er det vigtigt at den står retvinklet på grundlinjen.
- v, som er vinkelhalveringslinjen. Denne linje finder man ved at tage en af sine vinkler og finde halvdelen af den. Herefter tegner men en streg gennem trekanten ud fra dette. Skæringspunktet mellem disse linjer er også centrum for trekantens indskrevne cirkel.
- mi, som er midtnormalen. Denne linje finder man ved at tegne en retvinkletlinje, ud fra midtpunktet. Skæringspunktet mellem disse linjer er også centrum for trekantens omskrevne cirkel.
- me, som er medianen. Denne linje finder man ved at tegne en streg ud fra midtpunktet og ud til modsatte kant.
En trekant har også et areal, ligesom alle andre geometriske figurer. Trekantens areal finder man ved at sige højde*grundlinje/2. Omskriver man dette til en formel, kommer der til at stå "A=h*g/2". Grunden til at man skal /2, er at man finder arealet af et kvadrat som er præcis dobbelt så stor som ens trekant, hvis man kun siger h*g."
1. Du kan forklare den pythagoræiske læresætning
2. Du kan forklare, hvordan man kan finde den tredje sidelængde i en vilkårligretvinklet trekant, hvor to sidelængder er kendt.
----------------------------------------------------------------------------------------------
"Pythagoras sætning beskriver den retvinklede trekant, som er en trekant med en retvinkel. Hvis man har en retvinklet trekant og ikke kender C, kan man ved hjælp af Pythagoras sætning regne den ud. Sætningen ser sådan ud "a^2+b^2=c^2.
Hvis man fx siger at man har en retvinklet trekant hvor a=2 og b=3 kan man regne c ud, på følgende måde.
Man starter med at udfylde de kendte variabler. I vores tilfælde a og b. Der kommer til at følgende:
2^2+3^2=c^2
Forkorter man det kommer der til at stå:
4+9=c^2
c^2 er altså=4+9=13.
Nu skal man huske at 13 er c^2 og at man kun ønsker at finde c. Man skal derfor tage kvadratroden af 13, som er=3,6.
På denne måde har vi fundet ud af at c=3,6, når a=2 og b=3.
Man kan ved simpel ligningsløsning også regne a eller b ud, hvis man kender de 2 andre variabler. Fx hvis vi siger at vi har en trekant hvor a er ukendt, b=3 og c=3,6.
Vores ligning kommer til at se sådan ud:
a^2+3^2=3,6^2.
Vi starter med at gøre så vores ubekendte står alene. Det gør vi ved at sige -3^2 på begge sider, i vores tilfælde.
Vores ligning ser nu sådan ud:
a^2=3,6^2-3^2
Så forkorter vi vores ligning som normalt.
a^2=13-9
13-9 = 4
a^2 er altså = 4
Så tager vi kvadratroden af 4 for at finde a.
kvadratroden af 4=2
a er altså =2, i vores tilfælde.
Læringsmål:
1. Du kan forklare, hvad enhedscirklen er:
--------------------------------------------------------------------------------------
Enhedscirklen er en cirkel som har centrum i 0,0 punktet i et kordinatsystem, og har en radius på 1. Hvilken enhed er ligegyldig, men enhedscirklen skal have en radius på 1,0.
Enhedscirklen er et hjælpemiddel til at aflæse cosinus, sinus og tangens.
Hjælp: Matematikfessor.dk
1. Du kan forklare, hvad cosinus er:
2. Du kan forklare, hvad sinus er:
3. Du kan forklare, hvad tangens er.
-----------------------------------------------------------------------------
Cosinus, sinus og tangens er alle redskaber som kan bruges til at regne vinklerne ud i en retvinklet trekant.
Når man skal finde cosinus, sinus og tangens, er det vigtigt at kende til modstående og hostående katete, samt hypotonusen. Hypotonusen er altid den længste side i en trekant. Kateter er de 2 resterende. Den hosliggende katete er den/dem der hænger sammen med det punkt man står ved. Den modstående katete er den der ligger modsat.
Cosinus / cos bruges til at regne en vinkel ud i en trekant. I endhedscirklen ligger cosinus-værdien på x-aksen. For at finde cosinus skal man bruge formlen:
Cos = hosliggende katete / hypotonusen
Sinus / sin bruges til at regne en vinkel ud i en trekant. I enhedscirklen ligger sinus-værdien på y-aksen. For at finde sinus skal man bruge formlen:
Sin = modstående katete / hypotonusen
Tangens / tan bruges til at regne en vinkel ud i en trekant. I enhedscirklen ligger tangens-værdien på cirklens tangent. Deraf kommer navnet tangens. For at finde tangens skal man bruge formlen:
Tan = modstående katete / hosliggende katete.
Hjælp: Matematikfessor.dk